সংরক্ষণশীল বল

কোনো বস্তু একটি পূর্ণচক্র সম্পন্ন করে আদি অবস্থানে ফিরে আসলে, ঐ বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল দ্বারা কাজের পরিমাণ শূণ্য (০) হয় ঐ বলকে সংরক্ষণশীল বলা হয়ে থাকে।

সমানভাবে, যদি কোনো কণা একটি বদ্ধ লুপে ভ্রমণ করে, তবে একটি সংরক্ষণশীল বল দ্বারা মোট কৃত কাজ(বস্তুর উপর প্রয়োগকৃত বলের যোগফল যা স্থানচ্যুতি দ্বারা গুণনকৃত) শূন্য হবে।

একটি সংরক্ষনশীল বল কেবলমাত্র বস্তুর অবস্থানের উপর নির্ভর করে। যদি কোনো বল সংরক্ষনশীল হয়, তবে স্কেলার বিভবের জন্য একটি সাংখ্যিক মান নির্ধারণ করা সম্ভব এবং বিপরীতভাবে, যখন কোনো বস্তুর এক স্থান থেকে অন্য স্থানে সরণ হয়, সেই বল উক্ত বস্তুর বিভব শক্তির পরিবর্তন করে যা সেই পথের উপর অনির্ভরশীল, যা যান্ত্রিক শক্তি এবং মোট সংগৃহীত শক্তিতে অবদান রাখে। যদি বলটি সংরক্ষণশীল না হয়, তবে একটি স্কেলারের বিভবের বর্ণনা সম্ভব নয়, কারণ বিভিন্ন পথে বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তন হলে, আদি অবস্থান এবং শেষ অবস্থান সাংঘর্ষিক সম্ভাব্য পার্থক্যের দিকে পরিচালিত হয়।

মহাকর্ষ বল সংরক্ষণশীল বলের উদাহরণ, আর ঘর্ষণ বল অ-সংরক্ষণশীল বলের উদাহরণ।

সংরক্ষনশীল বলের অন্যান্য উদাহরণ হলঃ স্থিতিস্থাপক স্প্রিং এর বল, দুটি তড়িৎ আধানের মধ্যে স্থির তড়িৎ বল এবং দুটি চৌম্বকীয় মেরুর মধ্যে চৌম্বকীয় বল। শেষ দুটি বলকে কেন্দ্রীয় বল বলা হয় কারণ তারা দুটি আধানযুক্ত/চৌম্বকায়িত বস্তুর কেন্দ্রে অবস্থান করে কাজ করে। একটি কেন্দ্রীয় বল সংরক্ষণশীল হয় যদি এবং কেবলমাত্র এটি প্রতিসম এবং গোলাকৃতি হয়।

রীতিবিরুদ্ধ বিবরণ

রীতিবিরুদ্ধভাবে, একটি সংরক্ষণশীল বল এমন একটি বল হিসাবে চিন্তা করা যেতে পারে যা যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণ করে। ধরা যাক, একটি কণার যাত্রা A বিন্দুতে শুরু হয় এবং এর উপর একটি বল F কাজ করে। তারপর কণাটি অন্য বলের দ্বারা সরানো হয় এবং শেষ পর্যন্ত আবার A বিন্দুতে শেষ হয়। যদিও কণাটি এখনও চলতে পারে, তবে একটি নির্দিষ্ট মুহুর্তে যখন এটি আবার A বিন্দু অতিক্রম করে, এটি একটি বদ্ধ পথ ভ্রমণ করেছে। যদি এই সময়ে F দ্বারা মোট কৃত কাজ ০ হয়, তবে F বদ্ধ পথ অতিক্রম করে। সমস্ত সম্ভাব্য বদ্ধ পথগুলোর জন্য, বদ্ধ পথ অতিক্রমকারী যে কোনো বলকে সংরক্ষণশীল বল হিসাবে গণ্য করা হয়।

মহাকর্ষ বল, স্প্রিং বল, চৌম্বকীয় বল(কিছু সংজ্ঞা অনুসারে, নীচে দেখুন) এবং বৈদ্যুতিক বল(কমপক্ষে একটি সময়-স্বাধীন চৌম্বকক্ষেত্রে, বিশদ বর্ণনার জন্য ফ্যারাডের অন্তর্ভুক্তির সূত্র দেখুন) সংরক্ষণশীল বলের উদাহরণ, যেখানে ঘর্ষণ এবং বায়ু টানন অ-সংরক্ষণশীল বলের শাস্ত্রীয় উদাহরণ।

অ-সংরক্ষণশীল বলের জন্য, যে যান্ত্রিক শক্তি নষ্ট হয়(সংরক্ষিত হয় না) সেটা শক্তি সংরক্ষণ করার মাধ্যমে রুপান্তরিত হতে হয়। সাধারণত শক্তি তাপে রূপান্তরিত হয়, উদাহরণস্বরূপঃ ঘর্ষণ দ্বারা উৎপন্ন তাপ। তাপ ছাড়াও, ঘর্ষণ প্রায়শই কিছু শব্দ শক্তি উৎপাদন করে। পানির স্রোত চলন্ত নৌকার যান্ত্রিক শক্তিকে কেবল তাপ এবং শব্দশক্তিতে রূপান্তরিত করে না, বরং তার সম্মুখ প্রান্তের শক্তিকে তরঙ্গ শক্তিতে রুপান্তরিত করে। তাপগতিবিদ্যার দ্বিতীয় সূত্রের কারণে এই নষ্ট হওয়া শক্তিকে ধ্রুবক হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

পথ স্বাধীনতা

সংরক্ষনশীল বলের উদাহরণ

বদ্ধ পথ পরীক্ষার প্রত্যক্ষ পরিণতি হল যে, দুটি বিন্দুর মধ্যে চলমান একটি কণার উপর সংরক্ষণশীল বল দ্বারা কৃত কাজটি কণার দ্বারা ভ্রমণকৃত পথের উপর নির্ভর করে না।

এটি ডানদিকের চিত্রে দেখানো হয়েছেঃ কোন বস্তুর উপর মহাকর্ষ বল দ্বারা কৃত কাজ কেবল উচ্চতা পরিবর্তনের উপর নির্ভর করে কারণ মহাকর্ষ বল একটি সংরক্ষণশীল বল। সংরক্ষণশীল বল দ্বারা কৃত কাজ সেই প্রক্রিয়া চলাকালীন বিভব শক্তির পরিবর্তনের ঋনাত্মক মানের সমান। প্রমাণের জন্য, দুটি পথ ১ এবং ২ কল্পনা করা যাক, উভয়ই A বিন্দু থেকে B বিন্দুতে যাচ্ছে। কণার জন্য শক্তির তারতম্য, পথ ১ এর জন্য A থেকে B বিন্দুতে এবং তারপর পথ ২ এর জন্য, B থেকে A বিন্দু পর্যন্ত ০ হয়; সুতরাং, পথ ১ এবং ২ এর ক্ষেত্রে কাজের পরিমাণ একই, যেমনঃ যে পথ অনুসরণ করা হয়েছে সে পথের জন্য উক্ত কাজ স্বাধীন, যতক্ষন না এটি A বিন্দু থেকে B বিন্দু তে যায়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনো শিশু কোনো ঘর্ষণবিহীন স্লাইডে স্লাইড করে তবে স্লাইডের শুরু থেকে শেষ অবধি শিশুর উপর অভিকর্ষ বল দ্বারা কৃত কাজ স্লাইডের আকারের চেয়ে স্বাধীন; এটি কেবল শিশুটির উল্লম্বভাবে স্থানচ্যুত হওয়ার উপর নির্ভর করে।

গাণিতিক বিবরণ

মহাশূন্যে সর্বত্র সংজ্ঞায়িত একটি বল ক্ষেত্র F, যাকে একটি সংরক্ষনশীল বল বা সংরক্ষনশীল ভেক্টর ক্ষেত্র বলা হয় যদি তা নিম্নের তিনটি শর্তকে সন্তুষ্ট করেঃ

১. F এর কার্ল শূন্য ভেক্টর হবেঃ

${\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\vec {0}}.\,$

২. কোনো কণাকে একটি নির্দিষ্ট পথে সরানো হলে(আদি অবস্থান ও শেষ অবস্থান একই) উক্ত বল দ্বারা কৃত কাজ শূন্য হবেঃ

$W\equiv \oint _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=0.\,$

৩. উক্ত বলকে কোনো বিভব শক্তির ঋণাত্মক গ্রেডিয়েন্ট হিসাবে লেখা যাবে,

${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}\Phi .\,$

প্রমাণ যে, যখন F একটি বল ক্ষেত্র তখন এই তিনটি শর্ত সমান হয়

১ নং শর্তের দ্বারা ২ নং শর্ত

ধরা যাক, C কোনো সরল বদ্ধ পথ এবং সীমা C এর একটি পৃষ্ঠ S। স্টোকস তত্ত্ব অনুসারে,

$\int _{S}\left({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}\right)\cdot \mathrm {d} {\vec {a}}=\oint _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

এখানে F এর কার্ল ০ অর্থাৎ বামপক্ষ শূন্য। তাই এটি সত্য।

২ নং শর্তের দ্বারা ৩ নং শর্ত

ধরা যাক, ২ নং শর্ত ধারণ করে, উৎস থেকে x-এ C একটি বক্ররেখা; তাহলে ফাংশন,

$\Phi (x)=-\int _{c}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}.$

এই ফাংশনটি যথাযথভাবে সংজ্ঞায়িত(C থেকে আলাদা), এটি ২ নং শর্তকে অনুসরণ করে। যাইহোক, ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য থেকে এটি অনুসরণ করে যে,

${\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}\Phi .$

অর্থাৎ, ২ নং শর্ত ৩ নং শর্তকে প্রমাণ করে।

৩ নং শর্তের দ্বারা ১ নং শর্ত

অবশেষে, ধরে নেয়া যাক যে, ৩ নং শর্তটি সত্য। একটি সুপরিচিত ভেক্টর ক্যালকুলাস বিবৃত করে যে, কোনো ফাংশনের গ্রেডিয়েন্টের কার্ল ০ হয়। সুতরাং, যদি ৩ নং শর্তটি সত্য হয়, তবে প্রথম শর্তটি অবশ্যই সত্য হওয়া উচিত। এটি দেখায় যে, ১ নং শর্তের দ্বারা ২ নং শর্ত, ২ নং শর্ত দ্বারা ৩ নং শর্ত এবং ৩ নং শর্তের দ্বারা ১ নং শর্ত প্রমাণিত হয়। সুতরাং, তিনটিই সমতুল্য, কিউ.ই.ডি .. (১ নং এবং ৩ নং শর্ত হেল্মহোল্টজের উপপাদ্যের একটি দিক হিসাবেও পরিচিত))

সংরক্ষণশীল বল শব্দটি এই সত্য থেকে এসেছে যে, যখন কোনো সংরক্ষণশীল বল বিদ্যমান থাকে তখন এটি যান্ত্রিক শক্তি সংরক্ষণ করে। সর্বাধিক পরিচিত সংরক্ষণশীল বল হল মহাকর্ষ, বৈদ্যুতিক বল(একটি সময়-স্বাধীন চৌম্বকক্ষেত্রে, ফ্যারাডের সূত্র দেখুন) এবং স্প্রিং বল।

অনেক বল(বিশেষত যা বেগের উপর নির্ভর করে) সাধারণত বলের ক্ষেত্র নয়। এই ক্ষেত্রে, উপরের তিনটি শর্ত গাণিতিকভাবে সমতুল্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, চৌম্বকীয় বল ২ নং শর্তকে সন্তুষ্ট করে(যেহেতু আধানযুক্ত কণায় চৌম্বক ক্ষেত্রের দ্বারা কৃত কাজ সর্বদা শূন্য থাকে), তবে ৩ নং শর্ত পূরণ করে না এবং ১ নং শর্তও সংজ্ঞায়িত হয় না(বলটি ভেক্টর ক্ষেত্র নয়, সুতরাং কেউ এর কার্ল মূল্যায়ন করতে পারে না)। তদনুসারে, কেউ কেউ চৌম্বকীয় বলকে সংরক্ষণশীল হিসাবে শ্রেণিবদ্ধ করেছেন, অন্যরা তা করেন নি। চৌম্বকীয় বল একটি অস্বাভাবিক বিষয়; বেশীরভাগ গতি-নির্ভর বলগুলো, যেমনঃ ঘর্ষণ বল, উপর্যুক্ত শর্ত তিনটিকে সংজ্ঞায়িত করে না, এবং নিরপেক্ষভাবে অ-সংরক্ষনশীল।

অ-সংরক্ষণশীল বল

মোট শক্তি সংরক্ষণ করা সত্ত্বেও, অ-সংরক্ষণশীল বলগুলো শাস্ত্রীয় পদার্থবিজ্ঞানে স্বাধীনতার মাত্রা বা সময়-নির্ভর সম্ভাবনা কারণে অবহেলিত । অনেক অ-সংরক্ষণশীল বল ছোট আকারের সংরক্ষণশীল বলের ম্যাক্রোস্কোপিক প্রভাব হিসাবে বিবেচিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পৃথক অণুর গতি বিবেচনা করে শক্তির সংরক্ষণ লঙ্ঘন না করে ঘর্ষণকে কমানো বা বাড়ানো যেতে পারে; তবে এর অর্থ হল প্রতিটি অণুর গতিকে পরিস্যাংখ্যিক পদ্ধতিতে পরিচালনা করার পরিবর্তে বিবেচনা করা উচিত। ম্যাক্রোস্কোপিক পদ্ধতির জন্য লক্ষ লক্ষ স্বাধীনতার মাত্রার চেয়ে অ-সংরক্ষণশীল অনুমানের হিসাব করা অনেক সহজ।

অ-সংরক্ষণশীল বলের উদাহরণ হলঃ ঘর্ষণ এবং অ-স্থিতিস্থাপক পীড়ন। ঘর্ষন, বৃহৎ গতিশীল বস্তু থেকে ক্ষুদ্র গতিশীল বস্তুতে শক্তি আদান-প্রদান করতে পারে, এবং অ-সংরক্ষনশীল হয়। সাধারণ আপেক্ষিকতা অ-সংরক্ষণশীল, যেমনঃ বুধের কক্ষপথের ব্যতিক্রমী অগ্রগতিতে তা পর্যবেক্ষণ করা যায়। তবে সাধারণ আপেক্ষিকতা একটি চাপ-শক্তি-গতিবেগ সিউডোটেনসর সংরক্ষণ করে।